接机器学习算法整理(二)

逻辑回归

什么是逻辑回归(Logistic Regression)

逻辑回归是解决分类问题的，那回归问题怎么解决分类问题呢？将样本的特征和样本发生的概率联系起来，概率是一个数。

对于机器学习的本质就是，进来一个x，经过f(x)的运算，就得到一个预测值，对于之前无论是线性回归也好，多项式回归也好，看我们要预测的是什么，如果我们要预测的是房价，那么的值就是房价。如果我们要预测成绩，那么的值就是成绩。但是在逻辑回归中，这个的值是一个概率值。

，进来一个x，经过f(x)的运算，会得到一个概率值。之后我们根据这个概率值来进行分类

如果有50%以上的概率，我们就让的值为1；如果在50%以下概率的话，我们就让的值为0。这里的1和0在实际的场景中可能代表不同的意思，比如说1代表恶性的肿瘤患者，0代表良性的肿瘤患者；或者说1代表银行发给某人信用卡有一定的风险，0代表没有风险等等。

逻辑回归既可以看作是回归算法，也可以看作是分类算法。如果我们不进行最后的一步根据的值进行分类的操作，那么它就是一个回归算法。我们计算的是根据样本的特征来拟合计算出一个事件发生的概率。比如给我一个病人的信息，我计算出他患有恶性肿瘤的概率。给我一个客户的信息，我计算出发给他信用卡产生风险的概率。我们根据这个概率进一步就可以进行分类。不过通常我们使用逻辑回归还是当作分类算法用，只可以解决二分类问题。如果对于多分类问题，逻辑回归本身是不支持的。当然我们可以使用一些其他的技巧进行改进，使得我们用逻辑回归的方法，也可以解决多分类的问题。但是对于KNN算法来说，它天生就可以支持多分类的问题。

逻辑回归使用一种什么方式可以得到一个事件概率的值？对于线性回归来说，它的值域是(-∞,+∞)的。对于线性回归来说它可以求得一个任意的值。但是对于概率来说，它的值域只能是[0,1]，所以我们直接使用线性回归的方式，没办法在这个值域内。为此，我们的解决方案就是将线性回归的预测值，放入一个函数内，使得其值域在[0,1]之间，这样就获得了我们需要的概率。

那么我们的函数是什么呢？

现在我们用代码来看一下这个函数的图像

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

if __name__ == "__main__":

    def sigmoid(t):
        return 1 / (1 + np.exp(-t))

    x = np.linspace(-10, 10, 500)
    y = sigmoid(x)
    plt.plot(x, y)
    plt.show()

运行结果

根据这根曲线，我们可以看到它的最左端趋近于0，但是达不到0，最右端趋近于1，但是达不到1。说明这根曲线的值域是(0,1)，这是因为=0，=1。当我们画上纵轴

我们可以看到，当t>0时，p>0.5；t<0时，p<0.5。

那么将我们线性回归的预测值代入该函数后就变成了

，

现在我们已经知道了逻辑回归的基本原理，现在的问题就是：对于给定的样本数据集X,y，我们如何找到参数θ，使得用这样的方式，可以最大程度获得样本数据集X,对应分类出y?

逻辑回归的损失函数

我们先来看一下线性回归的损失函数，而，是真值。我们只需要找到让这个损失函数最小的θ值就好了。对于逻辑回归来说，它的预测值要么是1，要么是0，而我们是根据估计出来的，它代表一个概率，来决定到底是1还是0，它分成了两类，相应的逻辑回归的损失函数也相应的分成了两类。如果真值y=1，那么p越小，我们估计出来的就越有可能是0，那么我们的损失(cost)就越大；如果真值y=0，那么p越大，我们估计出来的就越有可能是1，那么我们的损失(cost)就越大。那么损失的趋势为

对于这种趋势，我们可以使用这样的函数来表示

我们把损失函数定义成这两种情况，我们先来看一下y=log(x)的函数图像

而我们的第一个式子中是一个-log(x)，那么-log(x)的图像就为

由于估计值的值域为[0,1]，所以上面这个图像超过1的部分都是没有意义的。

通过这个图，我们可以发现当取0的时候，-log()趋近于+∞。按照我们之前分类的方式，当=0的时候，预测值应该为0，但样本真实值y实际是1，显然我们分错了，此时我们对其进行惩罚，这个惩罚是+∞的。随着逐渐的增大，我们的损失越来越小，当到达1的时候，根据分类标准，预测值为1，此时它跟样本真值y是一致的。此时-log()为0，也就是没有任何损失。这样一根曲线就描述了如果我们给了一个样本，这个样本真实的标记输出是1的时候，相应用我们的方法估计出了以后，代入-log()得到的损失函数。

由于y=-log(x)是上图的样子，那么y=-log(-x)就是根据y轴对称的样子

那么对于-log(1-x)就是将-log(-x)的曲线向右平移一个单位。

由于的值域为[0,1]，所以y=-log(1-x)小于0的部分是没有意义的。

在这根曲线上，如果给定的=1的话，那么此时是趋近于+∞的。当=1的时候，预测值=1，但是y的真值为0，我们完全分错了，所以我们给它一个+∞的惩罚，随着的逐渐减小，这个惩罚值会越来越低，直到当=0的时候，=0，而y的真值为0，所以此时分类正确，在这种情况下一点惩罚都没有。所以我们用这两根曲线来作为我们的损失函数。

由于这样写非常不方便，所以我们把它合并成一个函数

，这个函数和上面的分类函数是等价的，原因也很简单，当y=1的时候，该式就等于，当y=0的时候，该式就等于。

当我们面对一个样本X的时候，相应的我们也知道这个样本对应的真实的分类y。现在我们使用逻辑回归的方式就可以估计出来对于这个样本X，它相应的概率是多少，于是我们就用这个式子得到了它相应的损失是多少。我们会来m个样本，相应的我们只需要将这些损失加在一起就可以了。

这就是我们逻辑回归相应的损失函数。

由于

所以最终我们的损失函数就为

这里我们要给定样本相应的特征，用表示，以及对应的输出标记，用表示，这些都是已知的。我们真正要求的是里面的θ。之后我们要做的事情就是找到一组θ，使得我们的J(θ)达到一个最小值。对于这个式子，它不能像线性回归使用最小二乘法一样推导出一个正规方程解，它是没有数学的解析解的。但是它可以使用梯度下降法来求解。这个损失函数是一个凸函数，它是没有局部最优解的，只存在唯一的一个全局最优解。

逻辑回归损失函数的梯度

对于这个损失函数

要求它的梯度，其实就是对每一个θ求偏导数

我们先来对函数求导

这是一个复合函数，根据复合函数求导法则，令a=-t，b=e^-t,c=,则a'=-1，b'=e^-t,c'=

所以

我们再来看一下的导数。这也是一个复合函数。log'x=1/x，则

那么对于损失函数前半部分的导数就为(这里同样也是复合函数求导，跟随的特征就是)

对于后半部分，我们先看一下的导数，它同样是一个复合函数，a=logx,b=1-x，c=,则a'=1/x，b'=-1，则

由于，代入上式，可得

则的导数就为(这里同样也是复合函数求导，跟随的特征就是)

由于前半部分的导数=

后半部分的导数=

合并后就为

最终J(θ)对某一个θ求偏导的话就为(前面的负号放到了括号中)

而就是我们逻辑回归的预测值，所以上式可以写为

则J(θ)的梯度就为

我们再来对比一下线性回归的梯度

我们会发现，逻辑回归和线性回归的梯度其实是一致的，只不过线性回归的预测值=；而逻辑回归的预测值=。线性回归是均方误差，所以前面多了一个2，而逻辑回归没有这个平方，所以前面没有这个2。对于线性回归进行向量化处理，它的梯度可以写成

那么对逻辑回归的梯度进行向量化处理，就有

实现逻辑回归算法

import numpy as np
from math import sqrt


def accuracy_score(y_true, y_predict):
    """计算y_true和y_predict之间的准确率"""
    assert len(y_true) == len(y_predict), \
        "the size of y_true must be equal to the size of y_predict"

    return np.sum(y_true == y_predict) / len(y_true)


def mean_squared_error(y_true, y_predict):
    """计算y_true和y_predict之间的MSE"""
    assert len(y_true) == len(y_predict), \
        "the size of y_true must be equal to the size of y_predict"

    return np.sum((y_true - y_predict)**2) / len(y_true)


def root_mean_squared_error(y_true, y_predict):
    """计算y_true和y_predict之间的RMSE"""

    return sqrt(mean_squared_error(y_true, y_predict))


def mean_absolute_error(y_true, y_predict):
    """计算y_true和y_predict之间的MAE"""

    return np.sum(np.absolute(y_true - y_predict)) / len(y_true)

def r2_score(y_true, y_predict):
    """计算y_true和y_predict之间的R Square"""
    return 1 - mean_squared_error(y_true, y_predict) / np.var(y_true)

import numpy as np
from .metrics import accuracy_score


class LogisticRegression:

    def __init__(self):
        # 初始化LogisticRegression模型
        self.coef = None  # 系数
        self.interception = None  # 截距
        self._theta = None

    def _sigmoid(self, t):
        return 1 / (1 + np.exp(-t))

    def fit(self, X_train, y_train, eta=0.01, n_iters=1e4):
        # 根据训练数据集X_train,y_train，使用梯度下降法训练Logistic Regression模型
        assert X_train.shape[0] == y_train.shape[0], \
            "X_train的列数必须等于y_train的长度"

        def J(theta, X_b, y):
            # 构建损失函数
            p_hat = self._sigmoid(X_b.dot(theta))
            try:
                return - np.sum(y * np.log(p_hat) + (1 - y) * np.log(1 - p_hat)) / len(y)
            except:
                return float('inf')

        def dJ(theta, X_b, y):
            # 对theta求偏导数，获取梯度向量
            return X_b.T.dot(self._sigmoid(X_b.dot(theta)) - y) / len(X_b)

        def gradient_descent(X_b, y, initial_theta, eta, n_iters=1e4, epsilon=1e-8):
            """
            梯度下降算法
            :param X_b: 带虚拟特征1的自变量特征矩阵
            :param y: 因变量向量
            :param initial_theta: 初始的常数向量，这里需要注意的是真正待求的是常数向量，求偏导的也是常数向量
            :param eta: 迭代步长、学习率
            :param n_iters: 最大迭代次数
            :param epsilon: 误差值
            :return:
            """
            theta = initial_theta
            # 真实迭代次数
            i_iter = 0
            while i_iter < n_iters:
                # 获取梯度
                gradient = dJ(theta, X_b, y)
                last_theta = theta
                # 迭代更新theta，不断顺着梯度方向寻找新的theta
                theta = theta - eta * gradient
                # 计算前后两次迭代后的损失函数差值的绝对值
                if abs(J(theta, X_b, y) - J(last_theta, X_b, y)) < epsilon:
                    break
                # 更新迭代次数
                i_iter += 1
            return theta

        X_b = np.hstack([np.ones((len(X_train), 1)), X_train])
        initial_theta = np.zeros(X_b.shape[1])
        self._theta = gradient_descent(X_b, y_train, initial_theta, eta, n_iters)
        self.interception = self._theta[0]
        self.coef = self._theta[1:]
        return self

    def predict_proba(self, X_predict):
        # 给定待预测数据集X_predict,返回表示X_predict的结果概率向量
        assert self.interception is not None and self.coef is not None, \
            "开始预测前必须fit"
        assert X_predict.shape[1] == len(self.coef), \
            "预测的特征数必须与训练的特征数相等"
        X_b = np.hstack([np.ones((len(X_predict), 1)), X_predict])
        return self._sigmoid(X_b.dot(self._theta))

    def predict(self, X_predict):
        # 给定待预测数据集X_predict,返回表示X_predict的结果向量
        assert self.interception is not None and self.coef is not None, \
            "开始预测前必须fit"
        assert X_predict.shape[1] == len(self.coef), \
            "预测的特征数必须与训练的特征数相等"
        proba = self.predict_proba(X_predict)
        return np.array(proba >= 0.5, dtype='int')

    def score(self, X_test, y_test):
        # 根据测试数据集X_test和y_test确定当前模型的准确度
        y_predict = self.predict(X_test)
        return accuracy_score(y_test, y_predict)

    def __repr__(self):
        return "LogisticRegression()"

现在我们来使用逻辑回归判别鸢尾花数据集，先获取鸢尾花数据集

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn import datasets

if __name__ == "__main__":

    iris = datasets.load_iris()
    X = iris.data
    y = iris.target
    # 鸢尾花数据集有3个分类，而逻辑回归只能进行二分类，所以我们去掉2这个特征
    X = X[y < 2, :2]
    y = y[y < 2]
    print(X.shape)
    print(y.shape)
    plt.scatter(X[y == 0, 0], X[y == 0, 1], color='red')
    plt.scatter(X[y == 1, 0], X[y == 1, 1], color='blue')
    plt.show()

运行结果

(100, 2)
(100,)

此时我们看到鸢尾花的数据集有100个样本数，2个特征。现在我们就用我们自己写的逻辑回归进行分类

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn import datasets
from playLA.model_selection import train_test_split
from playLA.LogisticRegression import LogisticRegression

if __name__ == "__main__":

    iris = datasets.load_iris()
    X = iris.data
    y = iris.target
    # 鸢尾花数据集有3个分类，而逻辑回归只能进行二分类，所以我们去掉2这个特征
    X = X[y < 2, :2]
    y = y[y < 2]
    print(X.shape)
    print(y.shape)
    # plt.scatter(X[y == 0, 0], X[y == 1, 1], color='red')
    # plt.scatter(X[y == 1, 0], X[y == 1, 1], color='blue')
    # plt.show()

    X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, seed=666)
    log_reg = LogisticRegression()
    log_reg.fit(X_train, y_train)
    # 查看分类准确度
    print(log_reg.score(X_test, y_test))
    # 查看测试数据集每一个元素的概率值
    print(log_reg.predict_proba(X_test))
    # 查看分类结果
    print(y_test)
    # 查看预测结果
    print(log_reg.predict(X_test))

运行结果

(100, 2)
(100,)
1.0
[0.92972035 0.98664939 0.14852024 0.01685947 0.0369836  0.0186637
 0.04936918 0.99669244 0.97993941 0.74524655 0.04473194 0.00339285
 0.26131273 0.0369836  0.84192923 0.79892262 0.82890209 0.32358166
 0.06535323 0.20735334]
[1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0]
[1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0]

通过训练和查看分类准确度，我们可以看到，我们对鸢尾花数据集的测试数据全部都正确的进行了分类。并且可以查看测试数据集元素概率值。并通过概率值获取最终的分类结果和预测结果。

决策边界

对于逻辑回归，它同样也有系数和截距，我们来看一下鸢尾花数据集的系数和截距

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn import datasets
from playLA.model_selection import train_test_split
from playLA.LogisticRegression import LogisticRegression

if __name__ == "__main__":

    iris = datasets.load_iris()
    X = iris.data
    y = iris.target
    # 鸢尾花数据集有3个分类，而逻辑回归只能进行二分类，所以我们去掉2这个特征
    X = X[y < 2, :2]
    y = y[y < 2]
    print(X.shape)
    print(y.shape)
    # plt.scatter(X[y == 0, 0], X[y == 0, 1], color='red')
    # plt.scatter(X[y == 1, 0], X[y == 1, 1], color='blue')
    # plt.show()

    X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, seed=666)
    log_reg = LogisticRegression()
    log_reg.fit(X_train, y_train)
    # 查看分类准确度
    print(log_reg.score(X_test, y_test))
    # 查看测试数据集每一个元素的概率值
    print(log_reg.predict_proba(X_test))
    # 查看分类结果
    print(y_test)
    # 查看预测结果
    print(log_reg.predict(X_test))
    # 查看逻辑回归的系数
    print(log_reg.coef)
    # 查看逻辑回归的截距
    print(log_reg.interception)

运行结果

(100, 2)
(100,)
1.0
[0.92972035 0.98664939 0.14852024 0.01685947 0.0369836  0.0186637
 0.04936918 0.99669244 0.97993941 0.74524655 0.04473194 0.00339285
 0.26131273 0.0369836  0.84192923 0.79892262 0.82890209 0.32358166
 0.06535323 0.20735334]
[1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0]
[1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0]
[ 3.01796521 -5.04447145]
-0.6937719272911228

这些系数和截距就组成了我们之前一直说的θ值。对于θ值它有没有几何意义呢，我们应该如何看待这个θ值呢？

之前我们在说逻辑回归原理的时候，有这样的式子

我们通过训练，得出了这个θ向量，如果我们的样本有n个特征(维度)的话，那么θ就有n+1个元素，我们要多添加一个。每当新来一个样本的时候，样本与θ进行点乘，点乘之后的结果送给函数，得到的这个值，我们就称之为是这个样本发生我们定义的事件的概率值。如果概率值≥0.5的话，我们就分类这样样本属于1这一类；如果概率值<0.5的话，我们就分类这个样本属于0这一类。我们再来看一下函数

当t>0时，p>0.5；t<0时，p<0.5，分界点在t=0的时候。将代入t，则有

当≥0的时候，我们的概率估计值≥0.5，此时我们将新来的样本x分类为y=1；当<0的时候，我们的概率估计值<0.5，此时我们将新来的样本x分类为y=0。换句话说，我们为新来的样本分类为1还是0，这个边界点，这个位置就被称为决策边界。

两个向量进行点乘，它同时代表的是一条直线。如果X有两个特征，那么就可以写成

这样的一个式子是一个直线的表达式。在二维坐标系中，横轴是x1这个特征，纵轴是x2这个特征。经过转换，就有

推导出x2，我们是为了把这根直线给画出来，真实感性的看一下它的样子。

def x2(x1):
    return (- log_reg.coef[0] * x1 - log_reg.interception) / log_reg.coef[1]

x1_plot = np.linspace(4, 8, 1000)
x2_plot = x2(x1_plot)
plt.scatter(X[y == 0, 0], X[y == 0, 1], color='red')
plt.scatter(X[y == 1, 0], X[y == 1, 1], color='blue')
plt.plot(x1_plot, x2_plot)
plt.show()

运行结果

图中的这根直线就是我们的决策边界。这根决策边界大体上将红色点和蓝色的点分成了两部分。如果我们新来一个样本的话，把样本的每一个特征和θ相乘，如果大于等于0的话，我们就给它分类为1，就在这根直线的下面。这就是这根直线的几何意义。如果得到的结果是小于0的话，我们就给它分类为0，就在这根直线的上方。如果等于0的话，它正好落在这一根决策边界上，此时无论我们把这个样本分类成0还是分类成1都是正确的，只不过我们这里分类成1。这里我们会发现在上图中有一个红色的点在决策边界的下方，显然这是一个分类错误的情况。而我们之前在测试用例中的分类准确率是100%，说明这个红色的点是在训练数据集中，我们可以来验证一下

def x2(x1):
    return (- log_reg.coef[0] * x1 - log_reg.interception) / log_reg.coef[1]

x1_plot = np.linspace(4, 8, 1000)
x2_plot = x2(x1_plot)
# plt.scatter(X[y == 0, 0], X[y == 0, 1], color='red')
# plt.scatter(X[y == 1, 0], X[y == 1, 1], color='blue')
# plt.plot(x1_plot, x2_plot)
# plt.show()

plt.scatter(X_test[y_test == 0, 0], X_test[y_test == 0, 1], color='red')
plt.scatter(X_test[y_test == 1, 0], X_test[y_test == 1, 1], color='blue')
plt.plot(x1_plot, x2_plot)
plt.show()

运行结果

由上图可见，我们的测试数据集只有这么几个点，它完全是分类正确的。